Problème à trois corps, une énigme en physique

1. Apparition en mécanique céleste
2. Problème d’Euler et exemple de la molécule H2+

Apparition en mécanique céleste

Le problème se pose d’abord en mécanique céleste, où il n’existe pas de solution analytique pour un système en mouvement constitué de trois corps soumis à la loi de la gravitation de Newton (par exemple le soleil, la Terre, et la lune ou les trois étoiles d’Alpha du Centaure, comme dans le fameux roman de Liu Cixin adapté récemment par Netflix). Cette impossibilité stricte, en raison de la sensibilité aux conditions initiales, fut démontrée par Henri Poincaré en 1890. Ce problème est en effet intrinsèquement chaotique, et seules des solutions numériques sont accessibles.

Problème d’Euler et exemple de la molécule H₂⁺

Que se passe-t-il quand seul l’un des trois corps est en mouvement, les deux autres demeurant fixes ? Le problème devient exactement soluble, comme l’a démontré Leonhard Euler en 1760.

L’étude de la liaison chimique de l’ion H₂⁺ peut se ramener au problème d’Euler, car les noyaux peuvent être considérés comme fixes, la masse du proton étant 1836 fois plus grande que celle de l’électron. La loi de Coulomb se substitue ici à la loi de gravitation. Les solutions exactes de l’équation de Schrödinger peuvent donc être trouvées, dans le cadre de l’approximation de Born-Oppenheimer. Pour toutes les autres molécules, des approximations supplémentaires telles que la théorie de la fonctionnelle de la densité sont nécessaires.

Dans le cas de H₂⁺, grâce à un changement du système de coordonnées cartésiennes vers des coordonnées elliptiques confocales où les deux noyaux correspondent aux deux foyers d’une même ellipse (voir figure), une séparation des variables est rendue possible, et le problème se simplifie. Des solutions exactes (numériques par Burrau dès 1927 et analytiques par Wilson en 1928), les orbitales moléculaires, peuvent alors être obtenues, bien que leur forme mathématique soit très complexe. Si ces orbitales sont symétriques par rapport à l’opération d’inversion, elles sont notées g (pour gerade en allemand), sinon u (pour ungerade). L’état fondamental, 1σ_g, est liant avec une distance d’équilibre d’environ 1,06 Å et une énergie de liaison d’environ -1,2 Ry.

Historiquement, la résolution de ce problème, en accord avec les résultats expérimentaux, marque le remplacement de l’ancienne théorie quantique par la mécanique quantique dont les fondements furent posés par Heisenberg en 1925, suivis par l’établissement par Schrödinger de sa fameuse équation en 1927.